塾講師、かく語りき

塾講師、かく語りき

京王線千歳烏山駅にある中学受験塾、烏山進学教室。講師が語る、学問に関係あることないこと。

角度の問題(解答編)

先週の記事に掲載しました、角度の問題。

多くの生徒や保護者の方にチャレンジしていただけましたようで、作問者としてはうれしい限りです。ご参加ありがとうございます!

 

 

では、解答の前にもう一度問題のおさらいを。

 

【問題】影の角度を求めなさい。

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もしこの記事が初見で、お時間がありましたら、考えてみてください。解答はこの下にあります。

 

 

 

 

 

 

それでは、以下解答です。

 

 

まず、はじめに正五角形の1つの内角を求めると、

 正五角形の内角 = (5-2)×180゚÷5 = 108゚

 

この部分の三角形に注目すると、

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正五角形の辺の長さは等しいため、これは二等辺三角形

したがって、左下の部分の角度は

 (180-108)÷2 = 36゚

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続いて上部に注目すると、この内角も108゚。

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ここで、正方形のもう一本の対角線を引くと、

f:id:dg-daiyo:20171207232906j:plain

図形の対称性により、半分が54゚

さらに、正方形の対角線によって分けられた角が45゚

よって、上の108゚は、下のように99゚と9゚に分けられる

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そのうち、99゚の方にできる三角形は、正方形と正五角形で2辺が等しいため、二等辺三角形

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よって、足元の部分の角度は

 (180-99)÷2 = 40.5゚

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さらに、40.5゚の下の部分の角度が

 108-40.5 = 67.5゚ 

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最後に、求めたい角と67.5゚、36゚には、下図のようにすると外角の公式が使えるので、

f:id:dg-daiyo:20171207234105j:plain

 影の角度 = 67.5+36 = 103.5゚ となります。

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図形の対称性という怪しげな論理に頼った解き方ですが、ポイントは2個目の二等辺三角形が見つけられるかどうかになります。

 逆に、二等辺三角形ではないのに二等辺三角形だと思い込んで解き進めると必ず間違えます

見た目が二等辺三角形っぽいものがいくつかありますが、しっかり証明できない限り使わない方がいいでしょう。

あとは外角の公式に狙いを定めて、先に求めるべき角度に目星をつけておくことが大事ですね。

 

 

お粗末ながら以上、解説となります。

また何か思いつきましたら、こんな感じで出題しますので、よろしくお願いいたします。